MATEMATIKA

“Semester 3 & 4”

DI SUSUN OLEH :

QONI’ NAQIYYATUL LAINIYAH (24)

KELAS XI TKJ 1

BAB 1

PROGRAM LINEAR

A. Pengertian Program Linear

Program linear yaitu suatu metode untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum dari bentuk linear pada daerah yang dibatasi grafik -grafik fungsi linear. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua peubah merupakan suatu himpunan titik-titik (pasangan berurut (x,y)) dalam bidang cartesius yang memenuhi semua pertidaksamaan linear dalam sistem tersebut.

Pertidaksamaan Linear juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini dapat dilakukan dengan memodelkan masalah menjadi model matematika. Jadi, Model matematika merupakan suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.

Contoh Soal 1
Andi membeli 3 baju dan 5 celana dengan harga total Rp 350.000,-
Sedangkan Budi yang hanya membeli 1 baju dan 1 celana harus membayar Rp 90.000,-
Jika harga masing-masing sebuah baju dan sebuah celana adalah x dan y, buatlah model matematika untuk persoalan tersebut!

Pembahasan :
Berdasarkan jumlah uang yang dibayarkan Andi diperoleh hubungan:
3x + 5y = 350.000
Berdasarkan jumlah uang yang dibayarkan Budi diperoleh hubungan:
x + y = 90.000
Karena harga baju maupun celana tidak negatif ataupun gratis, maka x > 0 dan y > 0
Jadi, model matematikanya adalah:
x > 0 , y > 0 , 3x + 5y = 350.000 dan x + y = 90.000

B. Nilai Optimum Fungsi Obyektif

Nilai optimum dari suatu persoalan, menyangkut beberapa syaratantara lain bentuk pertidaksamaan berbentuk linierdan tidak negative, Masalah optimum tersebut dikaitkan dengan keuntungan maksimum., atau andaikan terjadi kerugian diharapkan kerugian minimum.

Contoh Soal 2

Ling ling membeli 240 ton beras untuk dijual lagi. Ia menyewa dua jenis truk untuk mengangkut beras tersebut. Truk jenis A memiliki kapasitas 6 ton dan truk jenis B memiliki kapasitas 4 ton. Sewa tiap truk jenis A adalah Rp 100.000,00 sekali jalan dan truk jenis B adalah Rp 50.000,00 sekali jalan. Maka Ling ling menyewa truk itu sekurang-kurangnya 48 buah. Berapa banyak jenis truk A dan B yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum?

Pembahasan :

Langkah pertama. Tentukan kendala-kendala dari permasalahan program linear yang dimaksud oleh soal. Untuk mengetahui kendala-kendalanya, sebaiknya kita ubah soal tersebut ke dalam tabel sebagai berikut.

Sehingga, kendala-kendalanya dapat dituliskan sebagai berikut.

x + y ≥ 48,
6x + 4y ≥ 240,
x ≥ 0, y ≥ 0, x, y anggota bilangan cacah

Dengan fungsi objektifnya adalah f(x, y) = 100.000x + 50.000y.

Langkah kedua. Gambarkan daerah penyelesaian dari kendala-kendala di atas. Gambar dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas adalah sebagai berikut :

Langkah ketiga. Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian itu.

Titik potong garis 6x + 4y = 240 dengan sumbu-y adalah titik (0, 60).

Titik potong garis x + y = 48 dengan sumbu-x adalah titik (48, 0).

Sedangkan titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240 dapat dicari dengan menggunakan cara eliminasi berikut ini :

Diperoleh, titik potong garis-garis x + y = 48 dan 6x + 4y = 240 adalah pada titik (24, 24).

Langkah keempat. Menentukan nilai optimum fungsi objektif.

Langkah kelima. Bandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut.

Dari ketiga hasil tersebut, dapat diperoleh bahwa agar biaya yang dikeluarkan minimum, Ling ling harus menyewa 60 truk jenis B dan tidak menyewa truk jenis A.

C. Nilai Optimum Dari Fungsi Obyektif Dengan Garis Selidik

Jika bentuk umum fungsi tujuan dinotasikan dengan z=f(x,y)=ax+by

maka bentuk umum garis selidik dinotasikan dengan ax+by=k, dengan k∈R dimana k sembarang bilangan yang kita pilih. Garis selidik ax+by=k(k∈R) merupakan himpunan garis-garis yang sejajar. Dua buah garis dikatakan sejajar jika memiliki gradien yang sama.

Berdasarkan gambar tersebut, titik A merupakan titik yang meminimum kan fungsi tujuan (objektif ) dan titik D merupakan titik yang me maksimum kan tujuan.

Contoh Soal 3

Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan z=f(x,y)=3x+4y dan fungsi kendalanya adalah x+2y≤10,4x+3y≤24,x≥0,y≥0

Pembahasan :

1. Menentukan grafik dan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) :

2. Fungsi tujuannya : z=f(x,y)=3x+4y, bentuk umum garis selidiknya adalah 3x+4y=k . Untuk memudahkan menggambar, kita pilih nilai k=12 sehingga persamaan garis selidiknya adalah 3x+4y=12. gambar garis selidiknya :

Berdasarkan gambar garis selidik di atas, garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diketahui, yaitu titik B. Koordinat titik B setelah dicari adalah (185,165).
Artinya fungsi tujuannya maksimum pada titik pojok B.

3. Menentukan nilai maksimumnya dengan substitusi titik B ke fungsi tujuannya :
f(x,y)=f(185,165)=3×185+4×165=23,6.
Jadi, nilai maksimum dari fungsi tujuannya adalah 23,6.

4. Nilai minimumnya
Perhatikan gambar garis selidiknya, garis selidik harus digeser ke kiri atau ke bawah seperti gambar berikut :

Berdasarkan gambar tersebut, titik O(0, 0) merupakan titik paling dekat dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan. Dengan demikian, nilai minimum fungsi tujuan yang diberikan dicapai pada titik O(0, 0), yaitu
z=f(x,y)=3x+4y=3(0)+4(0)=0 .
Sehingga nilai minimum fungsi tujuannya adalah 0.

D. Latihan Soal

Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg dan pisang

Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat menampung mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga

Rp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka tentukanlah laba maksimum yang diperoleh pedagang tersebut?

Sebuah perusahaan properti memproduksi dua macam lemari pakaian yaitu tipe lux dan tipe sport dengan menggunakan 2 bahan dasar yang sama yaitu kayu jati dan cat pernis. Untuk memproduksi 1 unit tipe lux dibutuhkan 10 batang kayu jati dan 3 kaleng cat pernis, sedangkan untuk memproduksi 1 unit tipe sport dibutuhkan 6 batang kayu jati dan 1 kaleng cat pernis. Biaya produksi tipe lux dan tipe sport masing-masing adalah Rp 40.000 dan Rp 28.000 per unit. Untuk satu periode produksi, perusahaan menggunakan paling sedikit 120 batang kayu jati dan 24 kaleng cat pernis. Bila perusahaan harus memproduksi lemari tipe lux paling sedikit 2 buah dan lemari tipe sport paling sedikit 4 buah, tentukan banyak lemari tipe lux dan tipe sport yang harus diproduksi agar biaya produksinya minimum?

3. Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif F = 3x + 4y dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 36 dan x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0.

4. Dengan menggunakan garis selidik, Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan f(x,y)=80x+125y yang memenuhi kendala x+y≤350,600x+1.000y≤300.000,x≥0,y≥0.

BAB 2

MATRIKS

A. Pengertian Matriks

Matriks dapat diartikan sebagai sebuah susunan atau kumpulan dari beberapa bilangan yang disusun berdasarkan kepada baris dan kolom yang bentuknya persegi panjang. Matriks memiliki ciri khas khusus dimana biasanya bilangan yang menjadi elemen dari sebuah matriks disusun dengan diapit oleh tanda kurung siku [ ]. Ukuran dari sebuah matriks disebut dengan ordo yang menjelaskan jumlah dari kolom dan baris yang ada di dalam matriks tersebut.

Ukuran dari sebuah matriks dapat di simbolkan dengan rumus berikut ini:

A_ij

A = Nama Matriks

i = baris

j = kolom

Contoh :

Jangan sampai terbalik dalam membaca ordo matriks, ingatlah bahwa ordo matriks adalah banyaknya baris dikali dengan banyaknya kolom.

Contoh Soal 1
Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini :

Diketahui bahwa P = Q

Pembahasan :
Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa

3a = 9 → a = 3
2b = 10 → b = 5
2x = 12 → x = 6
~~y = 6~~
y = 2

Sehingga:
a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16

B. Minor, Kofaktor, dan Adjoin Matriks

1. Minor

Untuk memudahkan, minor kita beri simbol dengan huruf M dan minor untuk setiap elemen matrik akan kita beri simbol dengan Mij dimana i adalah letak baris dan j adalah letak kolom dari setiap elemen matrik.

Contoh Soal 2

Diketahui matrik A sebagai berikut:

Pembahasan :

Maka minor elemen 2 yang terletak pada baris ke 1 kolom ke 1 diberi simbol dengan M11. Untuk mencari harga minornya dapat kita lakukan dengan mencoret atau menghilangkan baris ke 1 dan kolom ke 1 sehingga didapatkan matrik baru seperti berikut:

jadi minor elemen 2 (M11) adalah :

Serupa dengan cara di atas , minor elemen 3 (M12) adalah :

Untuk nilai M13, M21, M22, M23, M31, M32 dan M33 didapatkan hasil sebagai berikut:

2. Kofaktor

Setelah mendapatkan harga minor dari masing-masing elemen matriks kita dapat menentukan nilai atau harga dari kofaktor. Cara mencarinya adalah dengan mengalikan masing-masing nilai minor di atas dengan tanda tempat masing-masing elemen. Adapun tanda tempatnya dapat dilihat pada gambar berikut:

Jadi berdasarkan tanda tempat di atas kita dapat mencari nilai kofakto dari masing-masing elemen matriks. Untuk selanjutnya kita akan berikan simbol untuk nilai kofaktor masing-masing elemen dengan Cij, dimana i menandakan baris dan j menandakan kolom. jadi untuk setiap elemen di atas kita dapatkan harga kofaktornya sebagai berikut:

3. Adjoin Matrik

Jika kita sudah mendapatkan matrik kofaktor (C) maka kita sudah bisa mendapatkan adjoin dari matrik tersebut. adjoin matrik bujur sangkar sama nilainya dengan transpose dari matrik kofaktor, jadi dengan mencari transpose dari matrik kofaktor kita sudah mendapatkan nilai adjoin matrik.

Transpose dari matrik C adalah :

C. Invers dan Determinan Matriks

Contoh Soal 3
Tentukan determinan dari matriks A berikut ini :

Pembahasan :
Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2
det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3 = 13

Contoh Soal 4
Tentukan invers dari matriks P

Pembahasan :
Invers matriks 2 x 2

D. Latihan Soal

1. Matriks P dan matriks Q sebagai berikut :

Tentukan matriks PQ ?

2. Diketahui matriks

Apabila B − A = C^t = transpos matriks C, maka nilai x .y ?

3. Jika

maka x + y ?

4. Invers dari matriks A adalah A⁻¹.

tentukan matriks (A⁻¹)^{T ?}

5. Diketahui matriks

dan

Jika A = B, maka a + b + c ?

BAB 3

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

A. Fungsi Komposisi

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Contoh Soal 2

Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :

f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}

g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :

a. f o g d. (f o g) (2)

b. g o f e. (g o f) (1)

c. (f o g) (4)

Jawab :

Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini

a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}

b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}

c. (f o g) (4) = 5

d. (f o g) (2) tidak didefinisikan

e. (g o f) (1) = -1

B. Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:

· Tidak Komutatif

(g o f)(x) = (f o g)(x)

· Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]

· Fungsi Identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

C. Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Penyelesaian :

(f o g) (x) = -4x + 4

f (g (x)) = -4x + 4

2 (g (x)) + 2 = -4x + 4

2 g (x) = -4x + 2

g (x) = -4x + 2

g (x) = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

D. Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1(x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menentukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

Pertama : Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua : Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga : Ubah y menjadi x [f^-1(y) menjadi f^-1(x)]

Contoh Soa 4

E. Latihan Soal

1. Diketahui fungsi f: R→R dengan f(x) = 4x + 3 dan fungsi g: R→R dengan g(x) = x–1.

a. Tentukanlah rumus fungsi komposisi (g ◦ f )(x) dan (f ◦ g)(x)

b. Selidiki apakah (g ◦ f )(x) = (f ◦ g)(x)!

2. Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 500x + 1.000, (dalam ribuan rupiah) x adalah banyak potong kain yang terjual.

a. Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 50 potong kain, berapa keuntungan yang diperoleh?

b. Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp100.000,00 berapa potong kain yang harus terjual?

c. Jika A merupakan daerah asal (domain) fungsi f dan B merupakan daerah hasil (range) fungsi f, gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir (b) di atas.

BAB 4

BARISAN DAN DERET TAK HINGGA

A. Barisan dan Deret Geometri

Rumus :

Un = ar ^n-1

Keterangan :

Un = suku ke n

a = suku pertama

r = rasio atau pembanding

Contoh Soal 1

3, 6, 12, 24, 48, 96….

Tentukan suku ke 6 dan tentukan pula jumlah sampai suku ke 7 ?

Penyelesaian :

3, 6, 12, 24, 48, 96….

=> U6 = ar ^n-1

= 3 (2 ^6-1)

= 3 (2 ⁵)

= 3 (32)

= 96

=> S7 = a (r ⁿ- 1)

r - 1

= 3 (2^7 - 1)

2 - 1

= 3 (127)

= 381

B. Deret Geometri Tak hingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyaknya suku tak terhingga. Ada dua jenis deret geometri tak higgga yaitu :
1. Deret geometri tak hingga naik ( deret divergen ) yaitu deret dengan |r| > 1
2. Deret geometri tak hingga turun( deret konvergen ) yaitu deret dengan |r| < 1

Deret konvergen (-1 < r < 1) Jumlahnya:

Deret divergen (r < - 1 atau r > 1) jumlah Sn = tak hingga
Jumlah suku bernomor ganjil:

Jumlah suku bernomor genap:

Contoh Soal 2

Rhisky sedang bermain ayunan di halaman belakang rumahnya. Dia mengayunkan ayunan tersebut dengan menggunakan tangan dan tubuhnya agar ayunan tersebut berayun sampai ketinggian maksimum, kemudian membiarkannya sampai ayunan yang dia tumpangi berhenti dengan sendirinya. Dalam setiap ayunan, Rhisky menempuh 75% dari panjang ayunan sebelumnya. Jika panjang busur pertama (atau ayunan pertama) 2 meter, Tentukan panjang busur yang ditempuh Rhisky pada ayunan ke-8. Berapa meterkah total panjang busur yang ditempuh Rhisky sebelum dia berhenti berayun?

Pembahasan :

Diketahui panjang busur pertama yang ditempuh Rhisky adalah 2 meter, sehingga kita peroleh a₁ = 2. Sedangkan dalam setiap ayunannya dia menempuh 75% dari panjang lintasan sebelumnya. Sehingga r = 75% = 0,75. Untuk menentukan panjang ayunan ke-8, kita tentukan a₈ dari barisan tersebut.

Sehingga, panjang ayunan Rhisky yang ke-8 adalah 0,27 meter atau 27 cm. Selanjutnya kita tentukan panjang lintasan yang ditempuh oleh Rhisky sebelum dia berhenti berayun. Untuk menentukan panjang lintasan ini, kita cari jumlah deret tak hingga dari barisan tersebut.

C. Latihan Soal

1. Diketahui barisan geometri dengan rumus fungsi Un = 3 ^{n – 1} dengan domain bilangan asli.

a. Tentukan nilai empat suku pertama barisan tersebut!

b. Jika Un = 729, tentukan nilai n!

2. Diketahui suatu deret geometri dengan rasio positif memiliki suku kedua 162 dan suku keempat 18. Tentukan:

a. Rasio dan suku pertama

b. Jumlah semua suku

3. Keliling suatu persegi adalah 80 cm. Dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisi persegi tersebut dapat dibuat persegi kedua. Dengan cara yang sama dibuat persegi ketiga dari persegi kedua. Demikian seterusnya sehingga persegi ke-n yang dibuat kelilingnya mendekati nol. Hitunglah keliling seluruh persegi yang ada!

4. Hitunglah jumlah tak hingga dari deret geometri 4+2+1+1/2+…. !

5. Suatu mobil SUV baru mengalami depresiasi nilai jual sebesar 15% tiap tahunnya (hal ini berarti harga jualnya menjadi 85% dari harga jual tahun sebelumnya). Jika harga beli dari mobil SUV baru tersebut adalah 510 juta rupiah, berapakah harga jual dari SUV tersebut setelah 5 tahun? Berapa tahunkah sampai harga SUV tersebut kurang dari 100 juta rupiah?

BAB 5

HUBUNGAN ANTAR GARIS

A. Pengertian Gradien dan Persamaan Garis Lurus

§ Persamaan garis lurus adalah suatu garis lurus yang posisinya ditentukan dengan suatu persamaan. Misalnya persamaan jika kita gambar pada koordinat Cartesius, maka gambarnya akan berbentuk garis lurus.

§ Gradien Persamaan Garis Lurus

Gradien adalah besar kemiringan suatu garis terhadap sumbu .

Bentuk umum persamaan garis lurus adalah , dengan m merupakan gradien, sedangkan suatu konstanta.

Jadi, persamaan yang berbentuk mempunyai gradien sebesar 2.

Untuk persamaan yang bentuknya , maka gradiennya adalah .

Sedangkan gradien suatu garis yang melalui dua titik dan , gradiennya didapat dengan menggunakan rumus:

B. Hubungan antar gradien pada persamaan garis lurus

Jika suatu garis sejajar dengan sumbu , maka gradiennya adalah 0.

1. Dua Garis yang Sejajar

Dua garis dikatakan memiliki hubungan sejajar jika gradiennya sama. Dua garis sejajar adalah dua garis yang jika sobat panjangkan berapapun tidak akan pernah berpotongan. Misal gradien garis 1 adalah m₁ dan gradien garis 2 adalah m₂ maka

m1 = m2

Contoh Soal 1
Jika sebuah garis yang melewati titik (4,3) dan sejajar dengan garis 2x + y +7 = 0, tentukan persamaan garis tersebut!

Jawab :

Dari persamaan garis 2x + y +7 = 0, buat memudahkan mencari gradien nilai c dianggap tidak ada

2x + y = 0
y = -2x –> didapat gradien garisnya = -2

Untuk menentukan persamaan garis sobat pakai saja rumus y = mx + c. Masukkan titik (4,3)

y = mx + c
3 = (-2) 4 + c
3 = -8 + c
c = 11

Jadi persamaan garis lurus sobat adalah y = -2x + 11 atau y + 2x – 11 = 0

Contoh Soal 2

Sebuah garis melewati titik (13,4) dan (15,1). Jika ada garis yang sejajar dengan garis tersebut melewati titik (6,4) Tentukan persamaan kedua garis tersebut!

Jawab :

Persamaan garis pertama

ü kita selesaikan dengan rumus

y = mx + c –> substitusi

titik (13,5) –> 5 = m₁13 + c
titik (16,1) –> 1 = m₁15 + c
———————————-
4 = -2m₁

m₁ = -2

ü kita masukkan ke salah satu persamaan di atas untuk menemukan nilai c
5 = m₁13 + c
5 = (-2)13 + c
5 = -26 + c –> c = 31
jadi persamaan garis 1 adalah y = -2x + 31

Persamaan Garis kedua
m1 = m2 = -2
y = mx + c
4 = (-2)6 + c
4 = -12 + c
c = 16

jadi persamaan garis 2 –> y = -2x + 16

2. Dua Garis Tegak Lurus

Hubungan dua garis saling tegak lurus terjadi ketika perpotongan dua garis tersebut membentuk sudut 90^o. Jika garis a memiliki gradien m1 dan garis b memiliki gradien m2 maka rumus hubungan dua garis tersebut

m₁ x m₂ = -1

Contoh Soal 3

Tentukan hubungan 2 garis berikut g₁ : 3x + 4y = 5 dan g2 : 4x – 3y = 5

Jawab :

kita cari dulu gradien dari g1 dan g₂
3x + 4y = 5 (c tidak perlu kita anggap)
3x + 4y = 0
4y = -3x –> m₁ = -3/4
4x – 3y = 5 (c tidak kita anggap)
4x – 3y = 0
4x = 3y
y = 4/3 x –> m₂ = 4/3
m₁ x m₂ = -3/4 x 4/3 = -1 (jadi hubungan garis g1 dan g2 adalah tegak lurus)

3. Garis Saling Berpotongan

Dua garis saling berpotongan jika keduannya pernah melewati satu titik yang sama (hanya 1). Untuk menentukan titik potong tersebut kita bisa menggunakan metode subtitusi maupun elminasi. Jika setelah disubtitusi dan dielminiasi bisa ketemu nilai x dan y maka kedua garis tersebut saling berpotongan.

Contoh Soal 4

Tentukan persamaan sebuah garis yang sejajar dengan garis 5x – y +12 = 0 dan melalui titik potong antara garis y = 2x – 5 dan y = 3x-7

Jawab :

Karena sejajar maka gradien garis yang dicari sama dengan gradien garis

5x – y + 12 = 0, gradien didapat 5. Kemudian sobat cari titik potong antara garis

y = 2x – 5 dan y = 3x-7, misal dengan substitusi

y = 2x – 5
y = 3x – 7
————— –
0 = -x + 2
x = 2, kita masukkan ke salah satu persamaan untuk mendapatkan niliai y
y = 2x – 5
y = 2(2) -5
y = -1, jadi kedua garis tersebut berpotongan di titik (2,-1)

Persamaan garis
y = mx + c
-1 = 5.2 + c
-1 = 10 + c
c = -11

jadi persamaan garisnya adalah y = 5x -11

4. Dua Garis Berpotongan Membentuk Sudut α

Sebenarnya hubungan dua buah garis hanya ada 2 berpotongan dan tidak berpotongan. Berpotongan dibagi menjadi dua, tegak lurus (sudut 90^o) dan berpotongan tapi tidak tegak lurus (membentuk sudut α). Misal garis g dengan gradien mg berpotongan dengan garis h dengan gradien mh, dan terbentuk sudut α maka dirumuskan :
| m_g -m_h |
tan α = —————
| 1 + m_g.m_h |

Contoh soal 5

Tentukan besar sudut yang ibentuk oleh garis g : y = 3x + 4 dan h : y = x + 4

Jawab :

| m_g -m_h |
tan α = —————
| 1 + m_g.m_h |

tan α = | 3-1/ 1 + 3(1) | = 1/2 dan arc tan 1/2 = 29,51^o. Jadi hubungan dua garis tersebut adalah berpotongan membentuk sudut lancip 29,51^o.

Contoh Soal 6

Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat Cartesius.
a. P (–4,–2) c. R (0, –3) e. T (3, 3)
b. Q (–2, 0) d. S (1, –2)

Jawab :

C. Latihan Soal

1. Gambarkan garis lurus yang melalui titik P(3, –3) dan Q(–3, 3).

2. Gambarlah garis dengan persamaan:

a. x + y = 4

b. x = 2y

3. Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut.

a. x + 2y + 6 = 0

b. 2x – 3y – 8 = 0

c. x + y – 10 = 0

d. d. 4x + 5y = 9

4. Tentukanlah gradien garis yang melalui titik-titik koordinat berikut.

a. A(2, 2) dan B(4, 4)

b. C(3, 1) dan D(2, 4)

5. Tentukan persamaan garis yang melalui:

a. titik K(–2, –4) dan sejajar dengan garis 3x + y – 5 = 0

b. titik R(1, –3) dan sejajar dengan garis yang melalui titik A(4, 1) dan B(–1, 2)

c. titik L(5, 1) dan tegak lurus dengan garis x –2y + 3 = 0

BAB 6

LUAS DAERAH SEGITIGA

A. Pengertian segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang memiliki 3 sisi dan 3 sudut dengan total sudut .

Luas = × alas × tinggi

Keliling = sisi A + sisi B + sisi C

B. Aturan Sinus dalam Segitiga

Pada segitiga disamping berlaku :

Rumus :

L = ½ bc. sin α … ₍₁₎
L = ½ ac. sin β … ₍₂₎
L = ½ ab. sin γ … ₍₃₎

Pembuktian aturan sinus

Persamaan (1) dan (2)
L = L
½ bc. sin α = ½ ac. sin β

b sin α = a sin β
b/sin β = a/sin α

Persamaan (1) dan (3)
L = L
½ bc. sin α = ½ ab. sin γ
c. sin α = a sin γ
c/sin γ = a/sin α

Contoh Soal 1
Misalkan pada segitiga ABC, ∠ A =30^o, BC = 6 dan AC = 10

Tentukan berapa besar ∠B ?

Penyelesaian :
BC/sin A = AC/ sin B
6/ sin 30^o = 10/ sin B
6/ 0,5 = 10 / sin B
12 = 10/sin B
sin B = 10/12 = 5/6
maka sudut B adalah 56,44^o

C. Atuan Cosinus dalam Segitiga

Pada sebuah segitiga dengan titik sudut A, B, C, panjang sisi a,b,c, dan sudut α, β, γ berlaku aturan cosinus

Rumus :

a² = b² + c² – 2bc cos α
b² = a² + c² – 2ac cos β
c² = a² + b² – 2ab cos γ

Pembuktian aturan cosinus

c² = (a sin γ)² + (b-a cos γ)²
c²= a² sin² γ + b²- 2ab cos γ + a² cos² γ
c² = a² sin² γ + a² cos² γ + b²- 2ab cos γ
c² = a² (sin² γ + cos² γ) + b²- 2ab cos γ

(sin² a + cos² a = 1)
c² = a²+ b²- 2ab cos γ

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di samaping. Titik P dan Q dinyatakan dengan korrdinat polar. Tentukan jarak antar titik P dan Q.

Penyelesaian :

Dari gambar di atas terlihat bentuk segitiga dan jarak antar titik P dan Q bisa dicari dengan menggunakan aturan cosinus.

Besar sudut POQ = 180^o – (75^o+45^o) = 60^o.
PQ² = OQ² + OP² – 2.OQ.OP cos ∠POQ
PQ² = 3² + 5² – 2.3.5 cos 60^o c
PQ² = 9 + 25 – 30. 0,5
PQ² = 9 + 25 -15
PQ² = 19
PQ = √19 = 4,36

D. Aturan Trigonometri Luas Segitiga

Selain aturan sinus dan cosinus dalam segitiga berlaku rumus luas segitigamenggunakan aturan trigonometri.
Sebuah segitiga seperti gambar di bawah ini

Maka berlaku aturan :

Luas Segitiga ABC
= ½ bc. sin α
= ½ ac. sin β
= ½ ab. sin γ

Pembuktian Rumus

Perhatikan segitiga di atas, rumus luas segitiga adalah ½ x alas x tinggi. Kita ganti nilai tinggi dengan c sin α atau a sin γ maka didapat
L = ½ b. c. sin α atau
L = ½ b. a. sin γ

Contoh Soal 3
Perhatikan segitiga gambar berikut :

Tentukan luas segitiga tersebut?

Penyelesaian :
Luas segitiga = ½ 3.5. sin 30^o = ½.3.5.½ = 15/4 = 3,75 cm

E. Latihan soal

1. Luas dari segitiga di bawah ini adalah?

Pada gambar di bawah ini, tentukan nilai dari x ?

3. Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = 10 cm, sudut A = 60°,

dan sudut B = 45°. Panjang sisi BC adalah ....

4. Dari segitiga ABC diketahui panjang AC = 10 cm, AB = 6 cm,

dan besar sudut A = 60°. Panjang BC adalah ....

BAB 7

STATISTIKA

A. Pengertian Statistika

Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara mengumpulkan data, menyusun data, menyajikan data, mengolah dan menganalisis data, menarik kesimpulan, dan menafsirkan parameter.

B. Rataan Hitung (Mean)

Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.

1. Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal

2. Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi

Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i

3. Rumus Rataan Hitung Gabungan

Contoh Soal 1

Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata dikurangi 1. Dari data di bawah, yang lulus adalah :

nilai ujian	3	4	5	6	7	8	9
Frekuensi	3	5	12	17	14	6	3

Penyelesaian :

Siswa dinyatakan lulus jika nilainya lebih dari : 6,07 – 1 = 5,07.

Jadi, jumlah yang lulus adalah 17 + 14 + 6 + 3 = 40 orang.

C. Modus

1. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.

2. Data yang telah dikelompokkan

Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:

Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

Contoh soal 2

Tentukan modus dari data berikut ini.

a. 45, 50, 50, 64, 69, 70, 70, 70, 75, 80

b. 50, 65, 65, 66, 68, 73, 73, 90

c. 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60

Penyelesaian :

a. Oleh karena nilai 70 muncul paling banyak (yaitu tiga kali muncul), modusnya adalah 70.

b. Oleh karena nilai 65 dan 73 muncul paling banyak (yaitu dua kali muncul), modusnya adalah 65 dan 73 (tidak tunggal).

c. Data 35, 42, 48, 50, 52, 55, 60 tidak mempunyai modus

D. Median (Nilai Tengah)

1. Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.

2. Data yang Dikelompokkan

Dengan :

Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data

Contoh soal 3

Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data berikut.

67	86	77	92	75	70
63	79	89	72	83	74
75	103	81	95	72	63
66	78	88	87	85	67
72	96	78	93	82	71

Penyelesaian :

Urutkan data dari kecil ke besar hasilnya sebagai berikut.

No. Unit Data (x_i)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nilai Data	63	63	66	67	67	70	71	72	72	72

No. Unit Data (x_i)	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Nilai Data	74	75	75	77	78	78	79	81	82	83

No. Unit Data (x_i)	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Nilai Data	85	86	87	88	89	92	93	95	96	103

E. Jangkauan ( J )

Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.

F. Simpangan Quartil

Contoh Soal 4

Tentukan jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil dari data berikut.

20 35 50 45 30 30 25 40 45 30 35

Penyelesaian:

Ingat hal pertama yang Anda lakukan adalah mengurutkan data tersebut untuk mencari kuartil atas dan kuartil bawahnya, yakni sebagai berikut.

Jadi, kuartil bawah (Q1) dan kuartil atas (Q3) dari data tersebut yakni 30 dan

Q_R = Q₃ – Q₁

Q_R = 45 – 30

Q_R = 15

Sedangkan simpangan kuartilnya yakni:

Q_d = ½Q_R

Q_d = ½.15

Q_d = 7,5

Jadi, jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil dari data tersebut adalah 15 dan 7,5.

G. Simpangan baku ( S )

Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh x₁, x₂, …, x_n. Dari data tersebut, dapat diperoleh nilai simpangan baku (S) yang ditentukan oleh rumus berikut.

Sekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan, dapat dinyatakan oleh x₁, x₂, …, x_n dan masing-masing data mempunyai frekuensi f₁, f₂, …, f_n. Simpangan baku (S) dari data tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus :

Contoh Soal 5

Hitunglah simpangan baku dari nilai ulangan Fisika dari 71 siswa kelas XI SMA Merdeka sesuai Tabel berikut :

Interval Kelas	Frekuensi
40 – 44	3
45 – 49	4
50 – 54	6
55 – 59	8
60 – 64	10
65 – 69	11
70 – 74	15
75 – 79	6
80 – 84	4
85 – 89	2
90 – 94	2

Penyelesaian :

Hasil perhitungan sebelumnya diperoleh µ = 65,7.

x_i	f_i	x_i - µ	(x_i - µ)²	Σf_i (x_i - µ)²
42	3	–23,7	561,69	1.685,07
47	4	–18,7	349,69	1.398,76
52	6	–13,7	187,69	1.126,14
57	8	– 8,7	75,69	605,52
62	10	–3,7	13,69	136,9
67	11	1,3	1,69	18,59
72	15	6,3	39,69	595,35
77	6	11,3	127,69	766,14
82	4	16,3	265,69	1.062,76
87	2	21,3	453,69	907,38
92	2	26,3	691,69	1.383,38
	Σf_i= 60			Σf_i (x_i - µ)²= 9.685,99

Jadi, simpangan bakunya σ :

H. Simpangan rata – rata (SR)

Untuk sekumpulan data yang dinyatakan oleh x₁, x₂, …, x_n dan masing-masing nilai data tersebut mempunyai frekuensi f₁ , f₂ , …, f_n diperoleh nilai simpangan rata-rata (S_R) dengan menggunakan rumus:

Contoh Soal 6

Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka seperti Tabel 1.

Tabel 1. Nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka

Interval Kelas	Frekuensi
40 – 44	3
45 – 49	4
50 – 54	6
55 – 59	8
60 – 64	10
65 – 69	11
70 – 74	15
75 – 79	6
80 – 84	4
85 – 89	2
90 – 94	2

Penyelesaian :

Dari tabel tersebut, diperoleh = 65,7 (dibulatkan).

Kelas Interval	Nilai Tengah (x_i)	f_i	\|x – x\|	f_i \|x – x\|
40 – 44	42	3	23,7	71,1
45 – 49	47	4	18,7	74,8
50 – 54	52	6	13,7	82,2
55 – 59	57	8	8,7	69,6
60 – 64	62	10	3,7	37
65 – 69	67	11	1,3	14,3
70 – 74	72	15	6,3	94,5
75 – 79	77	6	11,3	67,8
80 – 84	82	4	16,3	65,2
85 – 89	87	2	21,3	42,6
90 – 94	92	2	26,3	52,6
		Σf_i= 71		Σf_i \|x – x\| = 671,7

Jadi, simpangan rata-rata (S_R) = 671,7 / 71 = 9,46.

I. Latihan Soal

1. Seorang peneliti mencatat banyak bayi yang lahir selama setahun di 20 kecamatan. Hasil pencatatannya disajikan berikut.

136 140 220 193 130 158 242 127 184 213

200 131 111 160 217 281 242 242 281 192

Hitunglah rataan hitung (mean) data tersebut.

2. Tabel dibawah ini menunjukkan hasil ulangan matematika dari 71 siswa Kelas XI SMA Bhinneka. Tentukan modus dari data tersebut.

Interval Kelas	Frekuensi
40 – 44	2
45 – 49	2
50 – 54	6
55 – 59	8
60 – 64	10
65 – 69	11
75 – 79	6
80 – 84	4
85 – 89	4
90 – 94	3

3. Tentukan median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data pada Tabel berikut :

Interval Kelas	Frekuensi
40 – 44	2
45 – 49	2
50 – 54	6
55 – 59	8
60 – 64	10
65 – 69	11
70 – 74	15
75 – 79	6
80 – 84	4
85 – 89	4
90 – 94	3

4. Hitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut :

12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11

5. Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi badannya, diperoleh data berikut:

165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169.

Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.

BAB 8

PELUANG

A. KAIDAH PENCACAHAN

1. Aturan Pengisian Tempat

Contoh Soal 1
Andi diundang menghadiri acara ulang tahun temannya. Andi mempunyai tiga buah baju dua buah celana.
Baju : Merah, Kuning, Ungu
Celana : Hitam, Biru
Ada berapa cara Andi dapat mamasang-masangkan baju dan celananya?

Penyelesaian:
Banyaknya pasangan celana dan baju yang dapat dipakai Andi ada 6 yaitu:
{(hitam, kuning), (hitam, merah), (hitam, ungu),(biru, kuning), (biru, merah), (biru, ungu)}

2. Faktorial
Definisi:
n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
1! = 1 dan 0! = 1

Contoh Soal 2

1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
7! 7×6×5×4×3×2×1

2. —— = ———————— = 7 × 6 × 5 = 210
4! 4×3×2×1

3. Permutasi

Contoh Soal 3
Dari 5 orang calon pengurus akan dipilih 3 orang untuk menempati posisi sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa banyak cara memilih pengurus ?

Penyelesaian:
Untuk menjawab hal tersebut marilah kita gambarkan 3 tempat kosong yang akan diisi dari 5 calon pengurus yang tersedia

Contoh Soal 6
Andi, Budi dan Candra hendak duduk mengelilingi sebuah meja. Berapakah banyak cara mereka dapat duduk mengelilingi meja tersebut?

Penyelesaian :
Kalau mereka duduk berjajar banyaknya cara ada 3! = 6 yaitu
{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Bagaimana kalau mereka mengelilingi sebuah meja ?
Kemungkinan 1 diperoleh bahwa ABC = CAB = BCA
Kemungkinan 2 diperoleh bahwa ACB = CBA = BAC
Sehingga banyak cara mereka duduk hanya ada 2 cara
ternyata banyaknya cara 3 orang duduk mengelilingi sebuah meja = (3 - 1)!
Secara umum banyaknya permutasi siklis dapat ditentukan dengan rumus:

P= (n - 1)!

4. Kombinasi

Contoh soal 7
Ada tiga sahabat yang baru bertemu setelah sekian lama, mereka adalah
Adi, Budi, dan Candra. Saat bertemu mereka saling berjabat tangan, tahukah kamu berapa banyak jabat tangan yang terjadi?

Penyelesaian :
Adi berjabat tangan dengan Budi ditulis {Adi, Budi}.
Budi berjabat tangan dengan Adi ditulis {Budi, Adi}.
Antara {Adi, Budi} dan {Budi, Adi} menyatakan himpunan yang sama, hal ini disebut kombinasi. Di lain pihak {Adi, Budi}, {Budi, Adi} menunjukkan urutan yang berbeda yang berarti merupakan permutasi yang berbeda.
Dari contoh dapat diambil kesimpulan:
Permutasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Adi,
                     Budi – Candra, Candra – Adi, Candra – Budi
                   = 6 karena urutan diperhatikan
Kombinasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Candra
                   = 3 karena urutan tidak diperhatikan
                              6            permutasi
Kombinasi = 3 = —— = ——————
                              2                2
Jadi kombinasi dari 3 unsur diambil 2 unsur ditulis:
            3P2              3!
3C2 = —— = ————
           2       2! (3 − 2)!
Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda diambil r unsur
                             n
ditulis dengan C atau C(n. r) atau nCr, sehingga:
                             r
              P                 n!
nCr =———— = ————
            r!           (n - r)! r!

Contoh Soal 8
Dari 7 siswa putra dan 3 siswa putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, berapakah banyaknya cara mambentuk tim tersebut?
Penyelesaian:
Karena anggota tim ada 5 dan paling banyak 2 putri maka kemungkinannya adalah: 5 putra atau 4 putra 1 putri atau 3 putra 2 putri
Banyak cara memilih 5 putra =7C5
Banyak cara memilih 4 putra 1 putri =7C4 . 3C1
Banyak cara memilih 3 putra 2 putri =7C3 . 3C2

Banyak cara = 7C5 + 7C4 . 3C1 + 7C3 . 3C2
                              7!               7!                3!                7!               3!
                      = ———— + ———— x ———— + ———— x ————
                         (7 - 5)! 5!   (7 - 4)! 4!    (3 - 1)! 1!    (7 - 3)! 3!    (3 - 2)! 2!


                          7 . 6 . 5!     7 . 6 . 5 . 4!   3 . 2 . 1    7 . 6 . 5 . 4!     3 . 2 . 1
                      = ———— + ————— x ——— + ————— x ————
                         2 . 1 . 5!      3 . 2 . 1 . 4!      2 . 1      4! . 3 . 2 . 1      2 . 1

                      = 105 + 105 + 21 = 231

Jadi banyaknya cara membentuk tim ada 231 cara.

B. RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

1. Ruang Sampel
Tahukah kamu, apa saja yang mungkin muncul ketika sebuah dadu dilempar sekali ?
Kemungkinan yang muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6.
Jadi banyaknya himpunan semua kejadian yang mungkin pada pelemparan sebuah dadu sekali ada 6.
Himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan disebut Ruang Sampel atau Ruang Contoh biasa diberi lambang huruf S
Bagaimana kalau sebuah koin uang logam dilemparkan sekali, apa saja yang mungkin muncul?
S = {Angka, gambar}
n(S) = 2

2. Kejadian
Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh Soal 1

a. Dua buah dadu dilemparkan bersamaan sekali, tentukan kejadian munculnya
jumlah kedua dadu 10

b. selisih kedua dadu 3

c. jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1

d. jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5

Penyelesaian:
Untuk mengerjakan soal ini kita lihat jawaban contoh 13.

a. Jumlah kedua dadu 10 ={(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
Jadi banyaknya kejadian ada 3

b. Selisih kedua dadu 3 ={(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)}
Jadi banyaknya kejadian ada 6

c. Jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1 ={(2, 3), (3, 2)}
Jadi banyaknya kejadian ada 2

d. Jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5 ={(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 6), (6, 1}
Jadi banyaknya kejadian ada 5.

C. PELUANG SUATU KEJADIAN

1.      Peluang Suatu Kejadian
Sebelum mempelajari peluang suatu kejadian, marilah kita ingat kembali mengenai ruang sampel yang biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel, sedangkan titik sampel adalah setiap hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.
             n(A)
P(A) = ———
             n(S )
Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya anggota A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S

Contoh Soal 2
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:

a. ketiganya sisi gambar

b. satu gambar dan dua angka

Penyelesaian:

a.       S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
Maka n(S) = 8
    Misal kejadian ketiganya sisi gambar adalah A.
    A = {GGG}, maka n(A) = 1
                  n(A)        1
    P(A) = ——— =——
                  n(S )       8

b.      Misal kejadian satu gambar dan dua angka adalah B.
     B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3
                  n(B)        3
    P(B) = ——— =——
                  n(S )       8

Kisaran Nilai Peluang
Untuk mengetahui kisaran nilai peluang, perhatikan soal berikut:
Contoh Soal 3
Sebuah dadu dilemparkan sekali, tentukan peluang munculnya
a. Mata dadu 8 b. Mata dadu kurang dari 7
Penyelesaian:

a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu 8 adalah A
A = { }, n(A) = 0
n(A) 0

P(A) = ——— = — = 0
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu 8 adalah kejadian mustahil, P(A) = 0

b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
misal kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah B
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6
n(B) 6

P(B) = ——— = — = 1
n(S ) 6
Kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah kejadian pasti, P(A) = 1

Jadi kisaran nilai peluang: 0 ≤ P(A) ≤ 1

2.      Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.
Fh = n × P(A)

Contoh Soal 4
Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian:
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8
A = {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3
                                          n(A)                3
Fh(A) = n × P(A) = 240 × —— = 240 × —— = 90 kali
                                          n(S)                 8

3. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Untuk mempelajari peluang komplemen, perhatikan contoh berikut.
Contoh Soal 5
Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:

a. nomor dadu ganjil,

b. nomor dadu tidak ganjil?

Penyelesaian:

a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.
A adalah kejadian keluar nomor dadu ganjil
A = {1, 3, 5}, maka n(A) = 3 sehingga :
n(A) 3 1

P(A) = ——— =—— = —
n(S ) 6 2

b. B adalah kejadian keluar nomor dadu tidak ganjil
B = {2, 4, 6}, maka n(B) = 3 sehingga
n(B) 3 1

P(B) = ——— =—— = — , Peluang B adalah Peluang komplemen dari A
n(S ) 6 2
Dari contoh tersebut kita dapat mengambil kesimpulan bahwa:
P(A) + P(AC) = 1 atau P(AC) = 1 – P(A)

4. Peluang Kejadian Majemuk

a.      Peluang Gabungan 2 kejadian
Misal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadian
A ∪ B ditentukan dengan aturan:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Contoh Soal 1
Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan prima : {2, 3, 5} → P(B) =3/6
A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
               = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah 2/3

b.      Peluang Kejadian Saling Lepas
Contoh Soal 2
Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan genap : {2, 4, 6} → P(B) =3/6
A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
               = 3/6 + 3/6 = 1
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap adalah 1

c. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.

A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan
B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5

maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:
P(A∩B) = P(A) × P(B)

Contoh Soal 3
Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama, tentukan peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua!
Penyelesaian:
Kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua jadi ini adalah dua kejadian yang saling bebas
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36
Misal kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama adalah A, maka:
                                                                                                              6         1
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6 P(A) = —— = ——
                                                                                                             36        6
Misal kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua adalah B, maka:
                                                                                                             6         1
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6 P(B) = —— = ——
                                                                                                            36        6
                                              1           1          1
P(A∩B) = P(A) × P(B) = —— × —— = ——
                                              6           6         36
Jadi peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5
                                 1
pada dadu kedua = ——
                                36

d.      Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:
                  P(A∩B)
P(A/B) = ———— P(B) ≠ 0
                    P(B)

Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(B/A) = ———— P(A) ≠ 0
P(A)

Contoh Soal 4
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya keduanya bola merah!

Penyelesaian:
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, maka:
                   n(A)        5
     P(A) = ——— = ——
                   n(S)        8

Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, maka:
               n(B/A)        4
P(B/A) = ——— = ——
                  n(S)        7
                                                 5           4          5
P(A∩B) = P(A) × P(B/A) = —— × —— = ——
                                                 8           7         14

D. Latihan Soal

1. Berapakah banyaknya cara 8 orang dapat duduk mengelilingi api unggun jika 2 orang tertentu harus selalu berdampingan?

2. Andi mengikuti acara Jalan Santai dengan doorprize 5 buah sepeda motor. Jika jalan santai tersebut diikuti oleh 1000 orang, berapakah peluang Andi mendapatkan doorprize sepeda motor?

3. Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang munculnya paling
sedikit satu angka !

4. Hitunglah nilai dari:

a. 8C4

b. 6C2 × 4C3

5. Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain
putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:

a. ganda putra

b. ganda putrid

c. ganda campuran

6. Diambil sebuah kartu dari 1 set kartu bridge, tentukan peluang terambilnya kartu As atau kartu Hati!

7. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola kuning dan 1 bola biru. Akan diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang terambilnya bola merah atau bola kuning!

8. Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak dari masing-masing kotak. Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari kotak B!

BAB 9

PERSAMAAN LINGKARAN

A. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran, sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.

Gambar dibawah ini menunjukkan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r.

B. Persamaan Lingkaran

1. Persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari r

Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ = y.

Jarak dari O (0, 0) ke P (x, y) adalah.

Berdasarkan rumus Pythagoras

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r adalah x2 + y2 = r2

Contoh Soal 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari 5

Jawab :

2. Persamaan lingkaran yang berpusat P (a, b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat diperoleh dari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b) maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y + b).

Kita peroleh persamaan.

Persamaan lingkaran menjadi

(x’– a)2 + (y’ – b)2 = r2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah (x- a)2 + (y – b)2 = r2

Contoh Soal 2

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan berjari-jari 4

Jawab :

Pusat (3, 2) maka a = 3 dan b = 2

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

(x- 3)2 + (y – 2)2 = 42

(x- 3)2 + (y – 2)2 = 16

Contoh Soal 3

Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik P(2, 3) yang melalui Q(5, -1)

Jawab :

Pusat (2, 3) maka a = 2 dan b = 3

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

(x- 2)2 + (y – 3)2 = 252

C. Bentuk umum persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah

(x- a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2+ y2 – 2ax – 2by + a2+ b2– r2 = 0 atau x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Contoh Soal 4

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 – 4x +2y – 20= 0

Jawab :

A = -4, B = 2, dan C = -20

D. Kedudukan Titik dan Garis Pada Lingkaran

Letak K (m,n) terhadap X²+Y² +Ax + By +C= 0 , ditentukan oleh nilai kuasa titik tersebut terhadap lingkaran.
nilai kuasa K = m²+n² +Am + Bn +C,

K < 0 di dalam lingkaran
K= 0 pada lingkaran

§ K > 0 di luar lingkaran

Contoh Soal 5
Tentukan kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran X²+y² -8x -10y +16 =0 dan gambarlah
a. H(-3,9) b. L(7,9), c. M(10,5), d.N(1,7)

Jawab :

a. H(-3,9) K = (-3)²+9² -8.(-3) -10.9 +16 = 40, K > 0, diluar lingkaran

b. L(7,9) K = (7)²+9² -8.(7) -10.9 +16 = 0, K = 0, pada lingkaran

c. M(10,5) K = (10)²+5² -8.(10) -10.5 +16 = 11, K > 0, diluar lingkaran

d. N(1,7) K = 12+72 -8.(1) -10.7 +16 = -12, K < 0, didalam lingkaran

E. Kedudukan Garis Pada Lingkaran
Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax²+bx+c=0.

Lihat diskriminannya:

Jika

· D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)

· D=0, berarti garis menyinggung lingkaran

· D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh Soal 1

Tentukan posisi garis:

terhadap lingkaran

Jawab:

Karena , maka garis berada di luar lingkaran.

Contoh Soal 2

Tentukan p agar garis terletak di luar lingkaran !

Jawab:

syarat:

atau

Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p: atau

F. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:

Jika persamaan lingkaran berbentuk , maka persamaan garis singgungnya:

Persamaan lingkaran dapat juga diubah menjadi dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

Rumus:

atau

Contoh soal 3

Diberikan persamaan lingkaran L ≡ x² + y² = 25.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang memiliki titik singgung di (−4, 3).

Jawab :
Menentukan garis singgung pada suatu lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dan diketahui titik singgungnya.
Lingkaran L ≡ x² + y² = r²
Titik singgung (x₁, y₁)

Persamaan garis singgungnya adalah:
Dengan x₁ = − 4 dan y₁ = 3, persamaan garisnya:
−4x + 3y = 25
3y −4x − 25 = 0

G. Latihan Soal

1. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang tegak lurus garis 2y − x + 3 = 0 adalah....

2. Diberikan persamaan lingkaran:
L ≡ (x − 2)² + (y + 3)² = 25
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan titik singgung pada (5, 1).

3. Diberikan persamaan lingkaran:
L ≡ (x − 2)² + (y + 3)² = 25
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang sejajar dengan garis y = 2x + 3.

4. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 di titik (7, 1) adalah….

5. Lingkaran L ≡ (x + 1)² + (y − 3)² = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah...

BAB 10

TRANSFORMASI GEOMETRI

A. Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah proses mengubah setiap titik koordinat menjadi titik koordinat lain pada bidang tertentu. Transformasi bisa juga dilakukan pada kumpulan titik yang membentuk bidang/bangun tertentu. Jika sebuah titik A (x,y) kemudian ditransformasikan oleh transformasi T maka akan menghasilkan titik yang baru A’ (x’,y’). Secara matematis di tulis:

B. Jenis-Jenis Transformasi Geometri

Sebuah objek dapat diubah dengan melakukan berbagai perlakuan. Di dalam transformasi geometri dikenal adanya 4 jenis transformasi yang bisa dilakukan terdapat sebuah koordinat yaitu menggesernya, mencerminkannya, memutar, memperbesar, atau mengecilkan.

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi atau pergeseran adalah transformasi yang memindahkan setiap

titik pada bidang menurut jarak dan arah tertentu. Sobat bisa mengatakan kalau translasi hanya memindahkan tanpa mengubah ukuran tanpa memutar. Kata kuncinya transformasik ke arah yang sama dan ke jarak yang sama. Misalkan sobat punya sebuah titik T (x,y) yang ditranslasikan menurut (a,b) maka hasil setelah transfromasi adalah:

(x’,y’) = (x+a, y+b)

2. Refleksi

Berikut tabel transformasi pencerminan:

Refleksi atau sering disebut dengan istilah pencerminan adalah suatu transformasi dengan memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat-sifat pencerminan pada cermin datar.

Percerminan Terhadap	Pemetaan	Matriks Transformasi
Sumbu x	(x,y) → (x,-y)
Sumbu y	(x,y) → (-x,y)
Garis x = y	(x,y) → (y,x)
Garis x = -y	(x,y) → (-y,-x)
Titik (0,0)	(x,y) → (-x,-y)
Garis x = k	(x,y) → (2k-x,y)
Garis y = k	(x,y) → (x,2k-y)
Garis y = mx tan α	x’ = x cos 2α + y sin 2α y’ = x sin 2α – y cos 2α

3. Rotasi

Rotasi adalah memutar setiap titik pada bidang dengan menggunakan titik pusat tertentuk yang memiliki jarak sama dengan setiap titik yang diputar (jari-jari). Rotasi tidak mengubah ukuran benda sama sekali. Ada dua macam rotasi, rotasi dengan titik pusat (0,0) dan rotasi dengan titik tertentu P (a,b).

· Rotasi dengan Titik Pusat (0,0) dengan Sudut Putar α

dimana

x’ = x cos α – y sin
y’ = x sin α + y cos α

atau jika dibuat matriks transformasinya menjadi

keterangan

α bernilai + jika arah putaran berlawanan dengan arah jarum jam
α bernilai – jika araha putaran searah dengan arah jarum jam

· Rotasi dengan Titik Pusat (a,b) dengan Sudut Putar α

Jika sobat punya sebuah titik (x,y) yang diputar sebesar α derajat dengant titik pusat P (a,b) maka:

dimana

x’ – a = (x-a) cos α – (y-b) sin α
y’ – b = (x-a) sin α + (y-b) cos α

4. Dilatasi (Perkalian)

Selain dipindah, dicerminkan, dan diputar, transformasi juga bisa berbentuk pembesaran atau pengecilan yang disebut dilatasi. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun dinamakan faktor dilatasi.

Faktor dilatis dilambangkan dengan k dimana

· Jika k > 1 atau k <-1 maka diperbesar

· Jika -1 < k < 1 maka diperkecil

· Jika k = 1 atau k = -1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran

Dilatasi terhadap titik pusat O (0,0)Dilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor dilatasi K , maka

Dilatasi terhadap titik pusat P (a,b) Jika sebuah titik didilatasi dengan faktor dilatasi k dan titik pust P (a,b) , maka

dimana
x’-a = k (x-a)
y’-b = k (y-b)

Contoh Soal 1

Bayangan dari kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks xxx, kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu x akan manghasilkan matriks?

Jawab:

Dari soal di atas akan dua buah transformasi yaitu transformasi oelh matriks dan transformasi pencerminan terhadap sumbu x. Jadi matriks kompoisi totalnya adalah

Maka :

x’ = x + 2y maka x = x’-2y
y’ = -y maka y’ = -y

Dari sini kita bisa menyimpulkan bahwa bayangan kurva y = x + 1 oleh kedua transformasi di atas adalah

y = x + 1 (substitusikan dua persamaan di atas)
-y’ = (x’-2y) + 1
-y’ = x’+2y’+1
x’ + 3y’ + 1 = 0 atau
x + 3y + 1 = 0

C. Latihan Soal

1. Titik A(5,-2) ditranslasi oleh T (-3, 1). Tentukan koordinat bayangan titik A tersebut!

2. Tentukan bayangan garis y = 3x – 5 oleh translasi T (-2, 1)!

3. Bayangan titik A oleh refleksi terhadap titik (1, -2) adalah titik A’(3, 5).

Tentukan koordinat titik A!

4. Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap garis x = -1!

5. Tentukan bayangan garis 2x – y = 5 apabila dicerminkan terhadap garis y = -x!

6. Tentukan bayangan garis y = 5x + 4 oleh rotasi R(O, -90)!

7. Tentukan bayangan titik (-2, 8) oleh rotasi R(O, 135)!

8. Tentukan bayangan titik (5, -3) oleh rotasi R(P, 90) dengan koordinat titik P(-1, 2)!

9. Tentukan bayangan titik (9, 3) oleh dilatasi [O, 1/3]!

10. 10. Tentukan bayangan garis 3x + 4y – 5 = 0 oleh dilatasi dengan pusat (-2, 1) dan faktor skala 2!

BAB 11

TURUNAN

A. Rumus Rumus Turunan

Turunan fungsi f ‘ (x) didefinisikan sebagai :

untuk a = konstanta

· maka

maka
maka

jika U = u(x) dan V = v(x) adalah suatu fungsi

maka
maka
maka
maka
maka dinamakan aturan rantai

Misalkan y adalah fungsi dari x atau y = f(x). Turunan (atau diferensial) dari y terhadap x dinotasikan dengan :

Rumus Turunan :

· Jika dengan C dan n konstanta real, maka :

· Jika y = C dengan

· Jika y = f(x) + g(x) maka

· Jika y = f(x).g(x) maka

· Turunan kedua y = f(x) terhadap x dinotasikan dengan . Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama.
Contoh :

B. Latihan Soal

1. Diketahui f(x) = 2x³ + 3x – 4 .Tentukan turunannya ...

2. Diketahui f’(x) adalah turunan dari f(x) = 5x³+ 2x²+ 6x + 12,tentukan nilai f’(x) adalah....

3. Diketahui y = 3x⁴-2x⁵ – 1/2x⁶ -5¹-3.Tentukan turunannya…

Turunan pertama dari f(x) = sin³(3x² – 2) adalah f‘(x)…

4. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 + 2000/x)ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah …

5. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x – x²) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah …

6. Turunan pertama dari

adalah…

7. Turunan pertama dari fungsi f(x) = (3x² + 4)⁵ (2x - 1)⁴ adalah….

8. Turunan pertama dari adalah…

BAB 12

INTEGRAL

A. Pengertian Integral tak tentu

Integral tak tentu dalam bahasa Inggris di kenal dengan nama Indefinite Integral atau kadang juga di sebut dengan Antiderivatif yang merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.

Jika f merupakan integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F’= f. Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui “Teorema dasar kalkulus”, dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

B. Cara Membaca Integral Tak Tentu

Silahkan Lihat Integral Berikut

Rumus di atas di Baca dengan “Integral Tak Tentu Dari Fungsi f(x) Terhadap Variabel X”

Rumus Umum Integral

Pengembangan Rumus Integral

Pengembangan Rumus-rumus Integral Tak Tentu

Contoh Soal

1. Jika di Ketahui Maka Carilah Integralnya.!

Jawab :

2. Jika Diketahui Maka Tentukanlah Integralnya.!

Jawab:

C. Latihan Soal

1. Jika Di Ketahui Maka Tentukanlah Integralnya.!

2. Jika Diketahui (Akar Tiga) Maka Tentukanlah Integralnya.!

3. Jika di Ketahui Maka Tentukanlah Integralnya .!

Qoni Naqiyyatul Lainiyah

Senin, 15 Agustus 2016

RANGKUMAN MATERI MATEMATIKA KELAS XI

A. Fungsi Komposisi

B. Sifat-sifat Fungsi Komposisi

C. Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui

D. Fungsi Invers

B. Hubungan antar gradien pada persamaan garis lurus

C. Latihan Soal

Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

1. Translasi (Pergeseran)

2. Refleksi

3. Rotasi

4. Dilatasi (Perkalian)

Contoh Soal 1

A. Pengertian Integral tak tentu

B. Cara Membaca Integral Tak Tentu

Rumus Umum Integral

Pengembangan Rumus-rumus Integral Tak Tentu

Contoh Soal

C. Latihan Soal

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

67	86	77	92	75	70
63	79	89	72	83	74
75	103	81	95	72	63
66	78	88	87	85	67
72	96	78	93	82	71

67	86	77	92	75	70
63	79	89	72	83	74
75	103	81	95	72	63
66	78	88	87	85	67
72	96	78	93	82	71

Senin, 15 Agustus 2016

RANGKUMAN MATERI MATEMATIKA KELAS XI

A. Fungsi Komposisi

B. Sifat-sifat Fungsi Komposisi

C. Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui

D. Fungsi Invers

B. Hubungan antar gradien pada persamaan garis lurus

C. Latihan Soal

Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran

1. Translasi (Pergeseran)

2. Refleksi

3. Rotasi

4. Dilatasi (Perkalian)

Contoh Soal 1

A. Pengertian Integral tak tentu

B. Cara Membaca Integral Tak Tentu

Rumus Umum Integral

Pengembangan Rumus-rumus Integral Tak Tentu

Contoh Soal

C. Latihan Soal

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Jika persamaan lingkaran , maka persamaan garis singgungnya:Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

67	86	77	92	75	70
63	79	89	72	83	74
75	103	81	95	72	63
66	78	88	87	85	67
72	96	78	93	82	71